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1049.最后一块石头的重量II.md

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# 动态规划：最后一块石头的重量 II

1049. 最后一块石头的重量 II

力扣题目链接

题目难度：中等

有一堆石头，每块石头的重量都是正整数。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎； 如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。 最后，最多只会剩下一块石头。返回此石头最小的可能重量。如果没有石头剩下，就返回 0。

示例： 输入：[2,7,4,1,8,1] 输出：1 解释： 组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]， 组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]， 组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]， 组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。

提示：

  • 1 <= stones.length <= 30
  • 1 <= stones[i] <= 1000

思路

如果对背包问题不都熟悉先看这两篇：

本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了。

是不是感觉和昨天讲解的416. 分割等和子集非常像了。

本题物品的重量为store[i]，物品的价值也为store[i]。

对应着01背包里的物品重量weight[i]和 物品价值value[i]。

接下来进行动规五步曲：

  1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]表示容量（这里说容量更形象，其实就是重量）为j的背包，最多可以背dp[j]这么重的石头。

  1. 确定递推公式

01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

本题则是：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);

一些同学可能看到这dp[j - stones[i]] + stones[i]中 又有- stones[i] 又有+stones[i]，看着有点晕乎。

还是要牢记dp[j]的含义，要知道dp[j - stones[i]]为 容量为j - stones[i]的背包最大所背重量。

  1. dp数组如何初始化

既然 dp[j]中的j表示容量，那么最大容量（重量）是多少呢，就是所有石头的重量和。

因为提示中给出1 <= stones.length <= 30，1 <= stones[i] <= 1000，所以最大重量就是30 * 1000 。

而我们要求的target其实只是最大重量的一半，所以dp数组开到15000大小就可以了。

当然也可以把石头遍历一遍，计算出石头总重量 然后除2，得到dp数组的大小。

我这里就直接用15000了。

接下来就是如何初始化dp[j]呢，因为重量都不会是负数，所以dp[j]都初始化为0就可以了，这样在递归公式dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);中dp[j]才不会初始值所覆盖。

代码为：

vector<int> dp(15001, 0);
  1. 确定遍历顺序

在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）中就已经说明：如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！

代码如下：

for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = target; j >= stones[i]; j--) { // 遍历背包
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
    }
}
  1. 举例推导dp数组

举例，输入：[2,4,1,1]，此时target = (2 + 4 + 1 + 1)/2 = 4 ，dp数组状态图如下：

1049.最后一块石头的重量II

最后dp[target]里是容量为target的背包所能背的最大重量。

那么分成两堆石头，一堆石头的总重量是dp[target]，另一堆就是sum - dp[target]。

在计算target的时候，target = sum / 2 因为是向下取整，所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]的。

那么相撞之后剩下的最小石头重量就是 (sum - dp[target]) - dp[target]。

以上分析完毕，C++代码如下：

class Solution {
public:
    int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
        vector<int> dp(15001, 0);
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < stones.size(); i++) sum += stones[i];
        int target = sum / 2;
        for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = target; j >= stones[i]; j--) { // 遍历背包
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        return sum - dp[target] - dp[target];
    }
};
  • 时间复杂度：O(m × n) , m是石头总重量（准确的说是总重量的一半），n为石头块数
  • 空间复杂度：O(m)

总结

本题其实和416. 分割等和子集几乎是一样的，只是最后对dp[target]的处理方式不同。

416. 分割等和子集相当于是求背包是否正好装满，而本题是求背包最多能装多少。

其他语言版本

Java：

一维数组版本

class Solution {
    public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
        int sum = 0;
        for (int i : stones) {
            sum += i;
        }
        int target = sum >> 1;
        //初始化dp数组
        int[] dp = new int[target + 1];
        for (int i = 0; i < stones.length; i++) {
            //采用倒序
            for (int j = target; j >= stones[i]; j--) {
                //两种情况，要么放，要么不放
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        return sum - 2 * dp[target];
    }
}

二维数组版本（便于理解）

class Solution {
    public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
        int sum = 0;
        for (int s : stones) {
            sum += s;
        }

        int target = sum / 2;
        //初始化，dp[i][j]为可以放0-i物品，背包容量为j的情况下背包中的最大价值
        int[][] dp = new int[stones.length][target + 1];
        //dp[i][0]默认初始化为0
        //dp[0][j]取决于stones[0]
        for (int j = stones[0]; j <= target; j++) {
            dp[0][j] = stones[0];
        }

        for (int i = 1; i < stones.length; i++) {
            for (int j = 1; j <= target; j++) {//注意是等于
                if (j >= stones[i]) {
                    //不放:dp[i - 1][j] 放:dp[i - 1][j - stones[i]] + stones[i]
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - stones[i]] + stones[i]);
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }

        System.out.println(dp[stones.length - 1][target]);
        return (sum - dp[stones.length - 1][target]) - dp[stones.length - 1][target];
    }
}

Python：

class Solution:
    def lastStoneWeightII(self, stones: List[int]) -> int:
        sumweight = sum(stones)
        target = sumweight // 2
        dp = [0] * 15001
        for i in range(len(stones)):
            for j in range(target, stones[i] - 1, -1):
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i])
        return sumweight -  2 * dp[target]

Go：

func lastStoneWeightII(stones []int) int {
	// 15001 = 30 * 1000 /2 +1
	dp := make([]int, 15001)
	// 求target
	sum := 0
	for _, v := range stones {
		sum += v
	}
	target := sum / 2
	// 遍历顺序
	for i := 0; i < len(stones); i++ {
		for j := target; j >= stones[i]; j-- {
			// 推导公式
			dp[j] = max(dp[j], dp[j-stones[i]]+stones[i])
		}
	}
	return sum - 2 * dp[target]
}

func max(a, b int) int {
	if a > b {
		return a
	}
	return b
}

JavaScript版本

/**
 * @param {number[]} stones
 * @return {number}
 */
var lastStoneWeightII = function (stones) {
    let sum = stones.reduce((s, n) => s + n);

    let dpLen = Math.floor(sum / 2);
    let dp = new Array(dpLen + 1).fill(0);

    for (let i = 0; i < stones.length; ++i) {
        for (let j = dpLen; j >= stones[i]; --j) {
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
        }
    }

    return sum - dp[dpLen] - dp[dpLen];
};