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剑指 Offer 14- I. 剪绳子

• 标签：数学、动态规划
• 难度：中等

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题目大意

给定一根长度为 n 的绳子，将绳子剪成整数长度的 m 段，每段绳子长度即为 k[0]、k[1]、...、k[m - 1]。

要求：计算出 k[0] * k[1] * ... * k[m - 1] 可能的最大乘积。

解题思路

可以使用动态规划求解。

定义状态 dp[i] 为：拆分长度为 i 的绳子，可以获得的最大乘积为 dp[i]。

将 j 从 1 遍历到 i - 1，通过两种方式得到 dp[i]：

• (i - j) * j ，直接将长度为 i 的绳子分割为 i - j 和 j，获取两者乘积。
• dp[i - j] * j，将长度为 i的绳子 中的 i - j 部分拆分，得到 dp[i - j]，和 j ，获取乘积。

则 dp[i] 取两者中的最大值。遍历 j，得到 dp[i] 的最大值。

则状态转移方程为：dp[i] = max(dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j)。

最终输出 dp[n]。

代码

class Solution:
    def cuttingRope(self, n: int) -> int:
        dp = [0 for _ in range(n + 1)]
        dp[1] = 1
        for i in range(2, n + 1):
            for j in range(1, i):
                dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * j, (i - j) * j)
        return dp[n]