SPLIT

SPLIT

Löst lineare Gleichungssysteme der Form Ax = b durch Splitting der Matrix A ∈ ℝ^n×n in A = D + L + R. Zur Auswahl stehen die folgenden Verfahren:

• Gauß-Seidel / Einzelschritt
• SOR (Successive Over-Relaxation)
• Jacobi / Gesamtschritt

Setup

Folgende Felder können im Voraus belegt oder beim Start des Programms eingegeben werden:

Feld	Belegung
[A]	Matrix A
[B]	Rechte Seite b
[C]	Startwert x0

Ablauf

• Das Programm fordert zur Wahl eines Verfahrens auf.
• Die Berechnung der Matrizen M und N wird ausgegeben.
• Um die Konvergenz des Verfahrens nachzuweisen, wird eine Lipschitz-Konstante L < 1 gesucht.
  1. Zunächst wird getestet, ob die Zeilensummennorm ||M||_∞ geeignet ist.
  2. Falls nicht, wird die Spaltensummennorm ||M||₁ getestet.
  3. Sind beide ungeeignet, fordert das Programm zur Eingabe der Spektralnorm ||M||₂ auf.
• Die Berechnung der ersten Iterierten x₁ = Mx₀ + Nb wird ausgegeben.
• Das Programm fordert zur Wahl einer der im Folgenden beschriebenen Aktionen auf.

Aktion: iterieren

• Die Berechnung der nächsten Iterierten x_k = Mx_k-1 + Nb wird ausgegeben.

Aktion: a-priori

• Das Programm fordert zur Eingabe einer Toleranz ϵ ≥ ||x_k - x*|| auf.
• Eine hinreichende Anzahl an Iterationsschritten k zum Erreichen der Toleranz wird ausgegeben.

Aktion: a-posteriori

• Eine Fehlerschätzung für ||x_k - x*|| auf Grundlage der letzten beiden Werte x_k und x_k-1 wird ausgegeben.

Aktion: beenden

• Das Programm wird beendet.

Beispielsetup

• A=[[100,1,1,1,1][1,100,1,1,1][1,1,100,1,1][1,1,1,100,1][1,1,1,1,100]]
• b=[[96][97][98][99][100]]
• x₀=[[1][1][1][1][1]]
• ϵ=0.0001

Arbeitsspeicher

Feld	Belegung
C	Zwischensumme
D	Zwischenergebnis
E	Toleranz ε
I	Schleifenindex
J	Schleifenindex
K	Iteration k
N	Dimension n
P	Index der p-Norm || · ||p
S	Spaltensumme
W	Relaxationsparameter ω
Z	Zeilensumme
[D]	Wert xk
[E]	Wert xk-1
[F]	Iterationsmatrix M
[G]	Matrix N
[H]	Matrix D
[I]	Matrix L
[J]	Matrix R
Str9	Index k-1
Str0	Index k
∟DIM	Dimensionsliste {n,n}