Tutte le componenti di frequenza di un segnale sono ritardate durante il passaggio attraverso un sistema quale filtro, amplificatore o altoparlante.
Il ritardo del segnale sarà differente per ogni frequenza a meno che il sistema sia a fase lineare (e quindi il ritardo di gruppo sia costante).
Il ritardo di fase che subiscono le singole componenti è:
Il ritardo di gruppo ha la seguente forma:
La fase lineare è una proprietà del filtro, che si verifica quando la risposta di fase è una funzione lineare della frequenza. Il risultato è che tutte le componenti in frequenza del segnale sono spostate nel tempo (ritardate di
solito) di valore costante, che viene chiamato ritardo di fase.
In un sistema a fase lineare non ci sono distorsioni di fase dovute al ritardo relativo tra le varie frequenze (dato che son ritardate dello stesso valore costante).
Per sistemi a tempo discreto, la fase lineare perfetta si ottiene tramite
l'utilizzo di filtri a risposta impulsiva finita (FIR) che hanno una risposta
impulsiva simmetrica.
Nel caso in cui la risposta di fase del sistema sia lineare, il ritardo di gruppo e il ritardo di fase assumono lo stesso valore costante, che definisce il ritardo complessivo del sistema.
Un sistema lineare e tempo invariante (LTI) viene detto a fase minima se il
sistema e il suo inverso sono causali e stabili.
Per esempio, un sistema con funzione di trasferimento H(z) soddisfa causalità
e stabilità sse tutti i poli stanno all'interno del circolo di raggio
unitario.
Il filtro ideale è a fase lineare nella banda passante e a fase zero nella banda
interdetta, ha risposta di frequenza 1 nella banda passante e 0 nella banda
interdetta, ma non è ne stabile ne assolutamente sommabile, di conseguenza per
la realizzazione di filtri stabili si introduce una banda di transizione tra
la banda passante e quella interdetta in modo da consentire alla risposta in
frequenza di decadere graduatamente dal valore massimo a 0.
Se non si opera in real time, le sequenze sono reali e finite, allora possiamo realizzare un filtro a fase zero, ovvero un filtro con risposta in frequenza rale e positiva.
Tale filtro si ottiene elaborando x(n) con un sistema a coeficcienti reali H(z).
L'uscita di questo filtro viene invertita (time-reverse) e rifiltrata con lo
stesso filtro H(z), e infine si ribalta nuovamente il tempo.
Il sistema cosi' realizzato (filtro, time-reverse, filtro, time-reverse) è a
fase nulla.
Per applicare dunque un filtro con risposta di ampiezza A ci basta applicare il
metodo citato sopra con un filtro sqrt(A).
Un filtro FIR è a fase lineare sse la sua risposta impulsiva è simmetrica o antisimmetrica, ovvero per un filtro a durata N deve valere:
h(n) = h(N-n) OR h(n) = - h(N-n)
Esistono quattro tipi di FIR a fase lineare:
- simmetrici a lunghezza pari
- simmetrici a lunghezza dispari
- antisimmetrici a lunghezza pari
- antisimmetrici a lunghezza dispari
Per gli antisimmetrici a lunghezza dispari deve valere:
h(N/2) = 0
I quattro tipi di fitri differiscono per la disposizione degli zeri in +1 e -1:
- numero pari (o nullo) di zeri in +1 e -1
- numero pari (o nullo) di zeri in +1 e un numero dispari di zeri in -1
- numero dispari di zeri in +1 e un numero pari (o nullo) di zeri in -1
- numero dispari di zeri in +1 ed un numero dispari di zeri in -1
| tipo | simmetrico | lunghezza | zeri pari | zeri dispari |
|---|---|---|---|---|
| 1 | simm | pari | -1 +1 | |
| 2 | simm | dispari | +1 | -1 |
| 3 | anti | pari | -1 | +1 |
| 4 | anti | dispari | -1 +1 |
I filtri a risposta impulsiva infinita possono solo approssimare la fase lineare ma non possono ottenerla con perfezione, inoltre la condizione di stabilità non è sempre verificata come nel caso dei FIR.
Se vogliamo accentuare alcune componenti in frequenza del segnale dovremo posizionare i poli vicino al circolo unitario attorno a queste frequenze, mentre se vogliamo attenuare le componenti in frequenza dovremo posizionare gli zeri vicino al circolo unitario attorno a queste frequenze.
Che significa? A intuito direi che possiamo pensare al circolo di raggio unitario come un cerchio centrato nell'origine e di raggio 1. I numeri (complessi) che stanno all'interno di questo circolo avranno modulo < 1, all'esterno > 1 e sopra il circolo stesso = 1 . Ora, se i zeri o i poli devono stare vicino al circolo di raggio unitario significa che il loro modulo dev'essere all'incirca 1, mentre la loro fase può variare nell'intervallo [0, 2π], ed è proprio la fase dei zeri/poli che determina quali frequenze verrano influenzate maggiormente dal filtro.
Ricordiamo che la risposta in frequenza di un sistema viene valutata calcolando il valore di H(z) per z = e^(iω).