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 > **单串线性 DP** 问题：问题的输入为单个数组或单个字符串的线性 DP 问题。状态一般可定义为 $dp[i]$，表示为：
 >
 > 1. 「以数组中第 $i$ 个位置元素 $nums[i]$ 为结尾的子数组（$nums[0]...nums[i]$）」的相关解。
-> 2. 「以数组中前 $i$ 个元素为子数组（$nums[0]...nums[i - 1]$）」的相关解。
+> 2. 「以数组中第 $i - 1$ 个位置元素 $nums[i - 1]$ 为结尾的子数组（$nums[0]...nums[i - 1]$）」的相关解。
+> 3. 「以数组中前 $i$ 个元素为子数组（$nums[0]...nums[i - 1]$）」的相关解。
 
-这两种状态的定义区别在于相差一个元素 $nums[i]$。前者子数组的长度为 $i + 1$，子数组长度不可为空；后者子数组的长度为 $i$，子数组长度可为空。后者在 $i = 0$ 时，方便用于表示空数组（以数组中前 $0$ 个元素为子数组）。
+这 $3$ 种状态的定义区别在于相差一个元素 $nums[i]$。
+
+1. 第 $1$ 种状态：子数组的长度为 $i + 1$，子数组长度不可为空；
+2. 第 $2$ 种状态、第 $3$ 种状态：这两种状态描述是相同的。子数组的长度为 $i$，子数组长度可为空。在 $i = 0$ 时，方便用于表示空数组（以数组中前 $0$ 个元素为子数组）。
 
 ### 2.1 最长递增子序列
 
@@ -77,7 +81,7 @@
 
 对于满足 $0 \le j < i$ 的数组元素 $nums[j]$ 和 $nums[i]$ 来说：
 
-- 如果 $nums[j] < nums[i]$，则 $nums[i]$ 可以接在 $nums[j]$ 后面，此时以 $nums[i]$ 结尾的最长递增子序列长度会在「以 $nums[j]$ 结尾的最长递增子序列长度」的基础上加 $1$，即 $dp[i] = dp[j] + 1$。
+- 如果 $nums[j] < nums[i]$，则 $nums[i]$ 可以接在 $nums[j]$ 后面，此时以 $nums[i]$ 结尾的最长递增子序列长度会在「以 $nums[j]$ 结尾的最长递增子序列长度」的基础上加 $1$，即：$dp[i] = dp[j] + 1$。
 
 - 如果 $nums[j] \le nums[i]$，则 $nums[i]$ 不可以接在 $nums[j]$ 后面，可以直接跳过。
 
@@ -440,9 +444,13 @@ class Solution:
 > **双串线性 DP 问题**：问题的输入为两个数组或两个字符串的线性 DP 问题。状态一般可定义为 $dp[i][j]$，表示为：
 >
 > 1. 「以第一个数组中第 $i$ 个位置元素 $nums1[i]$ 为结尾的子数组（$nums1[0]...nums1[i]$）」与「以第二个数组中第 $j$ 个位置元素 $nums2[j]$ 为结尾的子数组（$nums2[0]...nums2[j]$）」的相关解。
-> 2. 「以第一个数组中前 $i$ 个元素为子数组（$nums1[0]...nums1[i - 1]$）」与「以第二个数组中前 $j$ 个元素为子数组（$nums2[0]...nums2[j - 1]$）」的相关解。
+> 2. 「以第一个数组中第 $i - 1$ 个位置元素 $nums1[i - 1]$ 为结尾的子数组（$nums1[0]...nums1[i - 1]$）」与「以第二个数组中第 $j - 1$ 个位置元素 $nums2[j - 1]$ 为结尾的子数组（$nums2[0]...nums2[j - 1]$）」的相关解。
+> 3. 「以第一个数组中前 $i$ 个元素为子数组（$nums1[0]...nums1[i - 1]$）」与「以第二个数组中前 $j$ 个元素为子数组（$nums2[0]...nums2[j - 1]$）」的相关解。
+
+这 $3$ 种状态的定义区别在于相差一个元素 $nums1[i]$ 或 $nums2[j]$。
 
-这两种状态的定义区别在于相差一个元素 $nums1[i]$ 或 $nums2[j]$。前者子数组的长度为 $i + 1$ 或 $j + 1$，子数组长度不可为空；后者子数组的长度为 $i$ 或 $j$，子数组长度可为空。后者在 $i = 0$ 或 $j = 0$ 时，方便用于表示空数组（以数组中前 $0$ 个元素为子数组）。
+1. 第 $1$ 种状态：子数组的长度为 $i + 1$ 或 $j + 1$，子数组长度不可为空
+2. 第 $2$ 种状态、第 $3$ 种状态：子数组的长度为 $i$ 或 $j$，子数组长度可为空。$i = 0$ 或 $j = 0$ 时，方便用于表示空数组（以数组中前 $0$ 个元素为子数组）。
 
 ### 3.1 最长公共子序列
 
@@ -622,54 +630,116 @@ class Solution:
 
 ### 3.3 编辑距离
 
+双串线性 DP 问题中除了经典的最长公共子序列问题之外，还包括字符串的模糊匹配问题。
+
 #### 3.3.1 题目链接
 
+- [72. 编辑距离 - 力扣](https://leetcode.cn/problems/edit-distance/)
+
 #### 3.3.2 题目大意
 
-#### 3.3.3 解题思路
+**描述**：给定两个单词 $word1$、$word2$。
+
+对一个单词可以进行以下三种操作：
+
+- 插入一个字符
+- 删除一个字符
+- 替换一个字符
+
+**要求**：计算出将 $word1$ 转换为 $word2$ 所使用的最少操作数。
+
+**说明**：
+
+- $0 \le word1.length, word2.length \le 500$。
+- $word1$ 和 $word2$ 由小写英文字母组成。
 
-## 4. 矩阵线性 DP问题
+**示例**：
+
+- 示例 1：
+
+```Python
+输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
+输出：3
+解释：
+horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
+rorse -> rose (删除 'r')
+rose -> ros (删除 'e')
+```
+
+- 示例 2：
+
+```Python
+输入：word1 = "intention", word2 = "execution"
+输出：5
+解释：
+intention -> inention (删除 't')
+inention -> enention (将 'i' 替换为 'e')
+enention -> exention (将 'n' 替换为 'x')
+exention -> exection (将 'n' 替换为 'c')
+exection -> execution (插入 'u')
+```
 
-> **矩阵线性 DP 问题**：问题的输入为二维矩阵的线性 DP 问题。状态一般可定义为 $dp[i][j]$，表示为：从「位置 $(0, 0)$」到达「位置 $(i, j)$」的相关解。
+#### 3.3.3 解题思路
 
-### 4.1 最小路径和
+##### 思路 1：动态规划
 
-#### 4.1.1 题目链接
+###### 1. 划分阶段
 
-#### 4.1.2 题目大意
+按照两个字符串的结尾位置进行阶段划分。
 
-#### 4.1.3 解题思路
+###### 2. 定义状态
 
-### 4.2 最大正方形
+定义状态 $dp[i][j]$ 表示为：「以 $word1$ 中前 $i$ 个字符组成的子字符串 $str1$」变为「以  $word2$ 中前 $j$ 个字符组成的子字符串 $str2$」，所需要的最少操作次数。
 
-#### 4.2.1 题目链接
+###### 3. 状态转移方程
 
-#### 4.2.2 题目大意
+1. 如果当前字符相同（$word1[i - 1] = word2[j - 1]$），无需插入、删除、替换。$dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]$。
+2. 如果当前字符不同（$word1[i - 1] \ne word2[j - 1]$），$dp[i][j]$ 取源于以下三种情况中的最小情况：
+   1. 替换（$word1[i - 1]$ 替换为 $word2[j - 1]$）：最少操作次数依赖于「以 $word1$ 中前 $i - 1$ 个字符组成的子字符串 $str1$」变为「以  $word2$ 中前 $j - 1$ 个字符组成的子字符串 $str2$」，再加上替换的操作数 $1$，即：$dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1$。
+   2. 插入（$word1$ 在第 $i - 1$ 位置上插入元素）：最少操作次数依赖于「以 $word1$ 中前 $i - 1$ 个字符组成的子字符串 $str1$」 变为「以  $word2$ 中前 $j$ 个字符组成的子字符串 $str2$」，再加上插入需要的操作数 $1$，即：$dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1$。
+   3. 删除（$word1$ 删除第 $i - 1$ 位置元素）：最少操作次数依赖于「以 $word1$ 中前 $i$ 个字符组成的子字符串 $str1$」变为「以  $word2$ 中前 $j - 1$ 个字符组成的子字符串 $str2$」，再加上删除需要的操作数 $1$，即：$dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1$。
 
-#### 4.2.3 解题思路
+综合上述情况，状态转移方程为：
 
-## 5. 无串线性 DP 问题
+$dp[i][j] = \begin{cases} dp[i - 1][j - 1] & word1[i - 1] = word2[j - 1] \cr min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1 & word1[i - 1] \ne word2[j - 1] \end{cases}$
 
-> **无串线性 DP 问题**：问题的输入不是显式的数组或字符串，但依然可分解为若干子问题的线性 DP 问题。
+###### 4. 初始条件
 
-### 5.1 整数拆分
+- 当 $i = 0$，「以 $word1$ 中前 $0$ 个字符组成的子字符串 $str1$」为空字符串，「$str1$」变为「以  $word2$ 中前 $j$ 个字符组成的子字符串 $str2$」时，至少需要插入 $j$ 次，即：$dp[0][j] = j$。
+- 当 $j = 0$，「以 $word2$ 中前 $0$ 个字符组成的子字符串 $str2$」为空字符串，「以 $word1$ 中前 $i$ 个字符组成的子字符串 $str1$」变为「$str2$」时，至少需要删除 $i$ 次，即：$dp[i][0] = i$。
 
-#### 5.1.1 题目链接
+###### 5. 最终结果
 
-#### 5.1.2 题目大意
+根据状态定义，最后输出 $dp[sise1][size2]$（即 $word1$ 变为 $word2$ 所使用的最少操作数）即可。其中 $size1$、$size2$ 分别为 $word1$、$word2$ 的字符串长度。
 
-#### 5.1.3 解题思路
+##### 思路 1：代码
 
-### 5.2 只有两个键的键盘
+```Python
+class Solution:
+    def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:
+        size1 = len(word1)
+        size2 = len(word2)
+        dp = [[0 for _ in range(size2 + 1)] for _ in range(size1 + 1)]
 
-#### 5.2.1 题目链接
+        for i in range(size1 + 1):
+            dp[i][0] = i
+        for j in range(size2 + 1):
+            dp[0][j] = j
+        for i in range(1, size1 + 1):
+            for j in range(1, size2 + 1):
+                if word1[i - 1] == word2[j - 1]:
+                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
+                else:
+                    dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1
+        return dp[size1][size2]
+```
 
-#### 5.2.2 题目大意
+##### 思路 1：复杂度分析
 
-#### 5.2.3 解题思路
+- **时间复杂度**：$O(n \times m)$，其中 $n$、$m$ 分别是字符串 $word1$、$word2$ 的长度。两重循环遍历的时间复杂度是 $O(n \times m)$，所以总的时间复杂度为 $O(n \times m)$。
+- **空间复杂度**：$O(n \times m)$。用到了二维数组保存状态，所以总体空间复杂度为 $O(n \times m)$。
 
 ## 参考资料
 
 - 【书籍】算法竞赛进阶指南
-- 【文章】[动态规划概念和基础线性DP | 潮汐朝夕](https://chengzhaoxi.xyz/1a4a2483.html)
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+- 【文章】[动态规划概念和基础线性DP | 潮汐朝夕](https://chengzhaoxi.xyz/1a4a2483.html)