Update 0096. 不同的二叉搜索树.md

Solutions/0096. 不同的二叉搜索树.md

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 ## 题目大意
 
-给定一个整数 `n`，求以 `1` 到 `n` 为节点构成的「二叉搜索树」有多少种？
+**描述**：给定一个整数 $n$。
+
+**要求**：求以 $1$ 到 $n$ 为节点构成的「二叉搜索树」有多少种？
+
+**说明**：
+
+- $1 \le n \le 19$。
+
+**示例**：
+
+- 示例 1：
+
+![](https://assets.leetcode.com/uploads/2021/01/18/uniquebstn3.jpg)
+
+```Python
+输入：n = 3
+输出：5
+```
+
+- 示例 2：
+
+```Python
+输入：n = 1
+输出：1
+```
 
 ## 解题思路
 
-动态规划求解。
+### 思路 1：动态规划
+
+一棵搜索二叉树的左、右子树，要么也是搜索二叉树，要么就是空树。
+
+如果定义 $f[i]$ 表示以 $i$ 为根的二叉搜索树个数，定义 $g(i)$ 表示 $i$ 个节点可以构成的二叉搜索树个数，则有：
+
+- $g(i) = f(1) + f(2) + f(3) + … + f(i)$。
 
-`1` 到 `n` 的每个节点都可以用来做根节点。每一个根节点 `i` 都是由左子树  `(1, 2, ..., i - 1)` 和右子树 `(i + 1, i + 2, ..., n)` 构成的。则二叉搜索树的个数肯定是两个子树个数的乘积。而根节点有 `n` 个，最终将这些个数累加起来即可。
+其中当 $i$ 为根节点时，则用 $(1, 2, …, i - 1)$ 共 $i - 1$ 个节点去递归构建左子搜索二叉树，用 $(i + 1, i + 2, …, n)$ 共 $n - i$ 个节点去递归构建右子搜索树。则有：
 
-定义 `f[i]` 为以 `i` 为根节点的二叉搜索树个数，`dp[i]` 为 `i` 个节点构成的二叉搜索树个数。则：
+- $f(i) = g(i - 1) \times g(n - i)$。
 
-`dp[i] = f(1) + f(2) + ... + f(i)`。
+综合上面两个式子 $\begin{cases} g(i) = f(1) + f(2) + f(3) + … + f(i) \cr f(i) = g(i - 1) \times g(n - i) \end{cases}$ 可得出：
 
-当 `i` 为根节点时，其左子树节点个数为 `i - 1`，右节点个数为 `n - i`。则：
+- $g(n) = g(0) \times g(n - 1) + g(1) \times g(n - 2) + … + g(n - 1) \times g(0)$。
 
-`f(i) = dp[i - 1] * dp[n - i]`。
+将 $n$ 换为 $i$，可变为：
 
-则总和上述公式可定义状态 `dp[i]` 表示： `i` 个节点构成的二叉搜索树个数。
+- $g(i) = g(0) \times g(i - 1) + g(1) \times g(i - 2) + … + g(i - 1) \times g(0)$。
 
-状态转移方程为 `dp[i] = dp[0] * dp[i - 1] + dp[1] * dp[i - 2] + ... + dp[i - 1] * dp[0]`。
+再转换一下，可变为：
 
-即：`dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]`，其中 `1 ≤ j ≤ i`。
+- $g(i) = \sum_{1 \le j \le i} \lbrace g(j - 1) \times g(i - j) \rbrace$。
 
-## 代码
+则我们可以通过动态规划的方法，递推求解 $g(i)$，并求解出 $g(n)$。具体步骤如下：
+
+###### 1. 划分阶段
+
+按照根节点的编号进行阶段划分。
+
+###### 2. 定义状态
+
+定义状态 $dp[i]$ 表示为： $i$ 个节点可以构成的二叉搜索树个数。
+
+###### 3. 状态转移方程
+
+$dp[i] = \sum_{1 \le j \le i} \lbrace dp[j - 1] \times dp[i - j] \rbrace$
+
+###### 4. 初始条件
+
+- $0$ 个节点可以构成的二叉搜索树个数为 $1$（空树），即 $dp[0] = 1$。
+
+###### 5. 最终结果
+
+根据我们之前定义的状态，$dp[i]$ 表示为： $i$ 个节点可以构成的二叉搜索树个数。。 所以最终结果为 $dp[n]$。
+
+### 思路 1：代码
 
 ```Python
 class Solution:
@@ -40,3 +92,12 @@ class Solution:
         return dp[n]
 ```
 
+### 思路 1：复杂度分析
+
+- **时间复杂度**：$O(n^2)$。
+- **空间复杂度**：$O(n)$。
+
+## 参考资料
+
+- 【题解】[画解算法：96. 不同的二叉搜索树 - 不同的二叉搜索树](https://leetcode.cn/problems/unique-binary-search-trees/solution/hua-jie-suan-fa-96-bu-tong-de-er-cha-sou-suo-shu-b/)
+