Create 1534. 统计好三元组.md

Solutions/1534. 统计好三元组.md

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+# [1534. 统计好三元组](https://leetcode.cn/problems/count-good-triplets/)
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+- 标签：数组、枚举
+- 难度：简单
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+## 题目大意
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+**描述**：给定一个整数数组 $arr$，以及 $a$、$b$、$c$ 三个整数。
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+**要求**：统计其中好三元组的数量。
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+**说明**：
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+- **好三元组**：如果三元组（$arr[i]$、$arr[j]$、$arr[k]$）满足下列全部条件，则认为它是一个好三元组。
+  - $0 \le i < j < k < arr.length$。
+  - $| arr[i] - arr[j] | \le a$。
+  - $| arr[j] - arr[k] | \le b$。
+  - $| arr[i] - arr[k] | \le c$。
+
+- $3 \le arr.length \le 100$。
+- $0 \le arr[i] \le 1000$。
+- $0 \le a, b, c \le 1000$。
+
+**示例**：
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+- 示例 1：
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+```Python
+输入：arr = [3,0,1,1,9,7], a = 7, b = 2, c = 3
+输出：4
+解释：一共有 4 个好三元组：[(3,0,1), (3,0,1), (3,1,1), (0,1,1)]。
+```
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+- 示例 2：
+
+```Python
+输入：arr = [1,1,2,2,3], a = 0, b = 0, c = 1
+输出：0
+解释：不存在满足所有条件的三元组。
+```
+
+## 解题思路
+
+### 思路 1：枚举
+
+- 使用三重循环依次枚举所有的 $(i, j, k)$，判断对应 $arr[i]$、$arr[j]$、$arr[k]$ 是否满足条件。
+- 然后统计出所有满足条件的三元组的数量。
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+### 思路 1：代码
+
+```Python
+class Solution:
+    def countGoodTriplets(self, arr: List[int], a: int, b: int, c: int) -> int:
+        size = len(arr)
+        ans = 0
+
+        for i in range(size):
+            for j in range(i + 1, size):
+                for k in range(j + 1, size):
+                    if abs(arr[i] - arr[j]) <= a and abs(arr[j] - arr[k]) <= b and abs(arr[i] - arr[k]) <= c:
+                        ans += 1
+
+        return ans
+```
+
+### 思路 1：复杂度分析
+
+- **时间复杂度**：$O(n^3)$，其中 $n$ 是数组 $arr$ 的长度。
+- **空间复杂度**：$O(1)$。
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+### 思路 2：枚举优化 + 前缀和
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+我们可以先通过二重循环遍历二元组 $(j, k)$，找出所有满足 $| arr[j] - arr[k] | \le b$ 的二元组。
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+然后在 $| arr[j] - arr[k] | \le b$ 的条件下，我们需要找到满足以下要求的 $arr[i]$ 数量：
+
+1. $i < j$。
+2. $| arr[i] - arr[j] | \le a$。
+3. $| arr[i] - arr[k] | \le c$。
+4. $0 \le arr[i] \le 1000$。
+
+其中 $2$、$3$ 去除绝对值之后可变为：
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+1. $arr[j] - a \le arr[i] \le arr[j] + a$。
+2. $arr[k] - c \le arr[i] \le arr[k] + c$。
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+将这两个条件再结合第 $4$ 个条件综合一下就变为：$max(0, arr[j] - a, arr[k] - c) \le arr[i] \le min(arr[j] + a, arr[k] + c, 1000)$。
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+假如定义 $left = max(0, arr[j] - a, arr[k] - c)$，$right = min(arr[j] + a, arr[k] + c, 1000)$。
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+现在问题就转变了如何快速获取在值域区间 $[left, right]$ 中，有多少个 $arr[i]$。
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+我们可以利用前缀和数组，先计算出 $[0, 1000]$ 范围中，满足 $arr[i] < num$ 的元素个数，即为 $prefix\underline{}cnts[num]$。
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+然后对于区间 $[left, right]$，通过 $prefix\underline{}cnts[right] - prefix\underline{}cnts[left - 1]$ 即可快速求解出区间 $[left, right]$ 内 $arr[i]$ 的个数。
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+因为 $i < j < k$，所以我们可以在每次 $j$ 向右移动一位的时候，更新 $arr[j]$ 对应的前缀和数组，保证枚举到 $j$ 时，$prefix\underline{}cnts$ 存储对应元素值的个数足够正确。
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+### 思路 2：代码
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+```python
+class Solution:
+    def countGoodTriplets(self, arr: List[int], a: int, b: int, c: int) -> int:
+        size = len(arr)
+        ans = 0
+        prefix_cnts = [0 for _ in range(1010)]
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+        for j in range(size):
+            for k in range(j + 1, size):
+                if abs(arr[j] - arr[k]) <= b:
+                    left_j, right_j = arr[j] - a, arr[j] + a
+                    left_k, right_k = arr[k] - c, arr[k] + c
+                    left, right = max(0, left_j, left_k), min(1000, right_j, right_k)
+                    if left <= right:
+                        if left == 0:
+                            ans += prefix_cnts[right]
+                        else:
+                            ans += prefix_cnts[right] - prefix_cnts[left - 1]
+
+            for k in range(arr[j], 1001):
+                prefix_cnts[k] += 1
+
+        return ans
+```
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+### 思路 2：复杂度分析
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+- **时间复杂度**：$O(n^2 + n \times S)$，其中 $n$ 是数组 $arr$ 的长度，$S$ 为数组的值域上限。
+- **空间复杂度**：$O(S)$。
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