Update 0322. 零钱兑换.md

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 ## 题目大意
 
-给定不同面额的硬币 `coins` 和一个总金额 `amount`。求出凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果无法凑出，则返回 -1。
+**描述**：给定代表不同面额的硬币数组 `coins` 和一个总金额 `amount`。
+
+**要求**：求出凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果无法凑出，则返回 -1。
+
+**说明**：
+
+- $1 \le coins.length \le 12$。
+- $1 \le coins[i] \le 2^{31} - 1$。
+- $0 \le amount \le 10^4$。
+
+**示例**：
+
+```Python
+输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
+输出：3 
+解释：11 = 5 + 5 + 1
+
+
+输入：coins = [2], amount = 3
+输出：-1
+```
 
 ## 解题思路
 
-完全背包问题。
+### 思路 1：广度优先搜索
 
-可以转换为有 n 枚不同的硬币，每种硬币可以无限次使用。凑成总金额为 amount 的背包，最少需要多少硬币。
+我们可以从 `amount` 开始，每次从 `coins` 的硬币中选中 `1` 枚硬币，并记录当前挑选硬币的次数。则最快减到 `0` 的次数就是凑成总金额所需的最少的硬币个数。这道题就变成了从 `amount` 减到 `0` 的最短路径问题。我们可以用广度优先搜索的方法来做。
 
-动态规划的状态 dp[i] 可以表示为：凑成总金额为 i 的组合中，至少有 dp[i] 枚硬币。
+1. 定义 `visited` 为标记已访问值的 set 集合变量，`queue` 为存放值的队列。
+2. 将`amount` 状态标记为访问，并将其加入队列 `queue`。
+3. 令当前步数加 `1`，然后将当前队列中的所有值依次出队，并遍历硬币数组：
+   1. 如果当前值等于当前硬币值，则说明当前硬币刚好能凑成当前值，则直接返回当前次数。
+   2. 如果当前值大于当前硬币值，并且当前值减去当前硬币值的差值没有出现在已访问集合 `visited` 中，则将差值添加到队列和访问集合中。
 
-动态规划的状态转移方程为：`dp[i] = min(dp[i], + dp[i-coin] + 1`，意思为凑成总金额为 i 最少硬币数量 = 「不使用当前 coin，只使用之前硬币凑成金额 i 的最少硬币数量」和「凑成金额 i-num 的最少硬币数量，再加上当前硬币」两者的较小值。
+4. 重复执行第 3 步，直到队列为空。
+5. 如果队列为空，也未能减到 `0`，则返回 `-1`。
 
-## 代码
+### 思路 1：代码
+
+```Python
+class Solution:
+    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
+        if amount == 0:
+            return 0
+
+        visited = set([amount])
+        queue = collections.deque([amount])
+
+        step = 0
+        while queue:
+            step += 1
+            size = len(queue)
+            for _ in range(size):
+                cur = queue.popleft()
+                for coin in coins:
+                    if cur == coin:
+                        step += 1
+                        return step
+                    elif cur > coin and cur - coin not in visited:
+                        queue.append(cur - coin)
+                        visited.add(cur - coin)
+
+        return -1
+```
+
+### 思路 1：复杂度分析
+
+- **时间复杂度**：$O(amount \times size)$。其中 $amount$ 表示总金额，$size$ 表示硬币的种类数。
+- **空间复杂度**：$O(amount)$。
+
+### 思路 2：完全背包问题
+
+可以转换为有 `n` 枚不同的硬币，每种硬币可以无限次使用。凑成总金额为 `amount` 的背包，最少需要多少硬币。
+
+###### 1. 划分阶段
+
+按照子串的起始位置进行阶段划分。
+
+###### 2. 定义状态
+
+定义状态 `dp[i]` 表示为：凑成总金额为 `i` 的最少硬币数量。
+
+###### 3. 状态转移方程
+
+`dp[i]` 来源于两部分：
+
+- 不使用当前硬币，只使用之前硬币凑成金额 `i` 的最少硬币数量。
+- 凑成金额 `i - num` 的最少硬币数量，再加上当前硬币。
+
+上述两者的较小值即为 `dp[i]`。
+
+###### 4. 初始条件
+
+- 凑成总金额为 `0` 的最少硬币数量为 `0`，即 `dp[0] = 0`。
+
+###### 5. 最终结果
+
+根据我们之前定义的状态，`dp[i]` 表示为：凑成总金额为 `i` 的最少硬币数量。则最终结果为 `dp[amount]`。
+
+### 思路 2：代码
 
 ```Python
 class Solution:
@@ -35,3 +122,7 @@ class Solution:
             return -1
 ```
 
+### 思路 2：复杂度分析
+
+- **时间复杂度**：$O(amount \times size)$。其中 $amount$ 表示总金额，$size$ 表示硬币的种类数。
+- **空间复杂度**：$O(amount)$。